РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 645371 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 433

Классификатор алгебры: Равенство тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $синус 2 x = 2 синус в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$синус 2 x = 2 синус в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x = косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $синус 2 x = 2 синус в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x = косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $синус 2 x = 2 синус в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x = косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств. Получаем:

$минус 2 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k\leqslant минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k\leqslant минус 1 равносильно совокупность выражений k= минус 2,k=1. конец совокупности .$

Указанным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Далее,

$минус 2 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n\leqslant минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений n= минус 2,n= минус 1. конец совокупности .$

Указанным значениям n соответствуют корни $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

645371

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 433

Классификатор алгебры: Равенство тригонометрических функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	645371	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$