PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если 
и BN = 6.
Решение. a) Вписанные углы MBN и MCN опираются на одну и ту же дугу MN окружности, значит, эти углы равны. Поскольку BM
и, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть прямая AP пересекает сторону BC в точке K. Тогда AK — высота и медиана равнобедренного треугольника ABC. По свойству биссектрисы треугольника
Значит, по обратной теореме Фалеса прямые MN и BC параллельны. Тогда
и треугольник BMN равнобедренный, BN = MN. По условию 
Пусть 
и 
где 
Поскольку 
получаем, что
следовательно, 
и 
Из прямоугольного треугольника ABK находим
Отрезок BP — биссектриса треугольника ABK, значит,
следовательно,
Прямая AK перпендикулярна прямой BC, прямая BC параллельна прямой MN, значит, прямая AP перпендикулярна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |