PDF-версии: 
В
а) Докажите, что площадь полной поверхности пирамиды относится к площади основания
б) Найдите объём пирамиды, если в основании лежит ромб, диагонали которого относятся
Решение. а) Рассмотрим одну из сторон основания, например, отрезок A1A2 и пирамиду SOA1A2, где точка O — проекция вершины на основание. Из точки O опустим перпендикуляр OH на сторону основания A1A2. Соединим точки S и H. По теореме о трех перпендикулярах прямая SH перпендикулярна прямой A1A2. Поэтому угол SHO — линейный угол двугранного угла SA1A2O между боковой гранью и основанием пирамиды. По условию
Обозначим SO = 3x, тогда OH = 4x и 
Заметим, что
Данное соотношение верно для всех оставшихся n – 1 частей пирамиды, следовательно,
б) Заметим, что поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания, то есть в точку пересечения диагоналей ромба. Из п. а) следует, что 
Пусть меньшая диагональ ромба A1A3 = 4x, тогда большая A2A4 = 6x. Находим:
Таким образом,
Следовательно,
Тогда
Таким образом, объём пирамиды SA1A2A3A4 равен
Ответ: б) 
Примечание.
Обобщая рассуждения пункта а), можно углядеть следующее свойство: если в пирамиде двугранные углы при сторонах основания равны, то 
где β — величина линейного угла двугранного угла при стороне основания. В данной задаче 
Тогда имеем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |