РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Для натурального числа n обозначим через t(n) количество его натуральных делителей и через s(n) сумму его натуральных делителей.

а)  Для каких чисел n сумма $t левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс s левая круглая скобка n правая круглая скобка$ будет нечетной?

б)  Последняя цифра числа t(n) равна 3. Может ли последней цифрой числа s(n) быть 2?

в)  1) Всегда ли будет простым число s(n), если число t(n) является простым?

      2) Всегда ли будет простым число t(n), если число s(n) является простым?

Решение. а)  Если число n разложено на произведение степеней простых множителей, то есть записано в виде $n=p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_s в степени левая круглая скобка k_s правая круглая скобка ,$ то, как известно,

$t левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_s плюс 1 правая круглая скобка ,$

$s левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс p_1 плюс p_1 в квадрате плюс \ldots p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_2 плюс p_2 в квадрате плюс \ldots p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс p_s плюс p_s в квадрате плюс \ldots p_s в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $s левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс p_1 плюс p_1 в квадрате плюс \ldots p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка 1 плюс p_2 плюс p_2 в квадрате плюс \ldots p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс p_s плюс p_s в квадрате плюс \ldots p_s в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Произведение нескольких чисел может быть нечетно только если все множители нечетны. Для t(n) это означает, что все показатели степеней четны (а число является квадратом). Для s(n)  — что все показатели степеней четны, кроме показателя степени двойки  — он может быть любым. (Очевидно, что сумма $1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс \ldots плюс 2 в степени k$ всегда нечетна, а сумма $1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots p в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка$ при нечетных p нечетна только при четных k.) Итак, если все показатели четны, то s(n) и t(n) нечетны и их сумма четна.

Если есть нечетный показатель, но не у двойки, то s(n) и t(n) четны, и их сумма четна.

Если же у всех простых четный показатель и только у двойки нечетный, то t(n) четно, а s(n) нечетно. Этот случай нам подходит.

Если такое число поделить на 2, все показатели станут четны, то есть число превратится в квадрат. Итак, ответ  — это удвоенные квадраты.

б)  Как видно из решения пункта а), ситуация с нечетным t(n) и четным s(n) невозможна.

в)  Заметим, что, например, $t левая круглая скобка 7 в квадрате правая круглая скобка =3$ (простое), но

$s левая круглая скобка 7 в квадрате правая круглая скобка = 1 плюс 7 плюс 49 = 57 = 3 умножить на 19.$

Если же s(n) простое, то, как видно из формулы, в n может входить лишь одно простое число, то есть $n = p в степени k .$ Допустим, что $t левая круглая скобка n правая круглая скобка =k плюс 1=ab$   — составное число. Тогда

$s левая круглая скобка n правая круглая скобка =1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка ab минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p в степени a плюс p в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка$ $s левая круглая скобка n правая круглая скобка =1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка ab минус 1 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p в степени a плюс p в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка$

составное число. Противоречие. Значит, t(n) простое.

Ответ: а)   $n=2x в квадрате ;$ б)  нет; в) 1)  нет; 2)  да.

Приведем доказательства использованных формул.

Пусть

$n = p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка \ldots p_s в степени левая круглая скобка альфа _s правая круглая скобка$

есть каноническое разложение на простые множители натурального числа n. Тогда число τ(n) натуральных делителей числа n выражается формулой

$\tau левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка альфа _s плюс 1 правая круглая скобка ,$

а сумма σ(n) всех натуральных делителей числа n выражается формулой

$\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: p_1 минус 1 конец дроби умножить на s дробь: числитель: p_s в степени левая круглая скобка альфа _s плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: p_s минус 1 конец дроби .$

Доказательство. Любой натуральный делитель d числа n представим в виде $d=p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка \ldots p_s в степени левая круглая скобка k_s правая круглая скобка ,$ где

$k_i принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, \ldots, альфа _i правая фигурная скобка \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

для $i=1, 2, \ldots, s.$ Поэтому, чтобы найти число всех натуральных делителей числа n, достаточно подсчитать число всевозможных упорядоченных наборов $k_1, \ldots, k_s,$ удовлетворяющих условиям (⁎). Ввиду (⁎) число k_i может принимать $альфа _l плюс 1$ значение, причем выборы различных значений $k_1, \ldots, k_s$ не зависят один от другого, и в силу единственности разложения на простые множители разным наборам соответствуют различные делители n. Следовательно, число всех натуральных делителей числа n равно

$левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка альфа _s плюс 1 правая круглая скобка .$

Сумма всех натуральных делителей числа n равна

$\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = \sum_\substack k_1 принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, \ldots, альфа _1 правая фигурная скобка \ldots \ldots \ldots \ldots k_s принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, \ldots, альфа _s правая фигурная скобка p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка \ldots p_s в степени левая круглая скобка k_s правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Каждое слагаемое в (⁎⁎) в точности один раз встречается после раскрытия скобок произведения

$левая круглая скобка 1 плюс p_1 плюс \ldots плюс p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс p_s плюс \ldots плюс p_s в степени левая круглая скобка альфа _s правая круглая скобка правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка *** правая круглая скобка$

Следовательно, сумма  (⁎⁎) равна произведению (⁎⁎⁎). Каждый сомножитель есть сумма членов геометрической прогрессии, поэтому произведение (***) равно

$дробь: числитель: p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: p_1 минус 1 конец дроби умножить на s дробь: числитель: p_s в степени левая круглая скобка альфа _s плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: p_s минус 1 конец дроби .$

Требуемое доказано.

Изложим доказательство второй формулы иначе на конкретном примере. Пусть $n = p_1p_2 в квадрате p_3 в кубе ,$ тогда делители числа n имеют вид $d=p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка p_3 в степени левая круглая скобка k_3 правая круглая скобка ,$ где

$k_1 принадлежит левая фигурная скобка 0, 1 правая фигурная скобка ,$

$k_2 принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, 2 правая фигурная скобка ,$

$k_3 принадлежит левая фигурная скобка 0, 1, 2, 3 правая фигурная скобка ,$

а сумма всех делителей равна

$\sum_ k_1, k_2, k_3 p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка p_3 в степени левая круглая скобка k_3 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс p_1 правая круглая скобка левая круглая скобка p_2 в степени 0 плюс p_2 в степени 1 плюс p_2 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка p_3 в степени 0 плюс p_3 в степени 1 плюс p_3 в квадрате плюс p_3 в кубе правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс p_1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_2 плюс p_2 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_3 плюс p_3 в квадрате плюс p_3 в кубе правая круглая скобка .$ $\sum_ k_1, k_2, k_3 p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка p_3 в степени левая круглая скобка k_3 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс p_1 правая круглая скобка левая круглая скобка p_2 в степени 0 плюс p_2 в степени 1 плюс p_2 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка p_3 в степени 0 плюс p_3 в степени 1 плюс p_3 в квадрате плюс p_3 в кубе правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 плюс p_1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_2 плюс p_2 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_3 плюс p_3 в квадрате плюс p_3 в кубе правая круглая скобка .$

Это и есть частный случай формулы (⁎⁎). Полученное произведение можно также записать через сумму геометрической прогрессии, получим:

$\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: p_1 в квадрате минус 1, знаменатель: p_1 минус 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: p_2 в кубе минус 1, знаменатель: p_2 минус 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: p_3 в степени 4 минус 1, знаменатель: p_3 минус 1 конец дроби .$

Это частный случай формулы (⁎⁎⁎).

Примечание.

Готовящимся к олимпиадам рекомендуем также задачу https://reshuolymp.ru/problem?id=238 о сумме квадратов делителей числа.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640019	а)   $n=2x в квадрате ;$ б)  нет; в) 1)  нет; 2)  да.

Ключ