РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 640016 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 425

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Производство x тысяч единиц продукции обходится в $q=3 x в квадрате плюс x плюс 6$ миллионов рублей в год. При цене p тыс. руб. за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн руб.) составляет px – q. При каком наименьшем значении p через 11 лет суммарная прибыль может составить не менее 66 млн руб. при некотором значении x?

Решение. Прибыль (в млн руб.) за один год выражается величиной

$px минус левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x плюс 6 правая круглая скобка = минус 3x в квадрате плюс левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка x минус 6.$

Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке $x_0 = минус дробь: числитель: b, знаменатель: конец дроби 2a = дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ Подставляя, находим, что наибольшее значение равно $дробь: числитель: левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 12 конец дроби минус 6.$ Прибыль за одиннадцать лет составит не менее 66 млн руб., если

$дробь: числитель: левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 12 конец дроби минус 6 больше или равно дробь: числитель: 66, знаменатель: 11 конец дроби равносильно левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка 6 плюс 6 правая круглая скобка умножить на 12 равносильно левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 12 в квадрате больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка p минус 13 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 11 правая круглая скобка \geqslant0,$ $дробь: числитель: левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 12 конец дроби минус 6 больше или равно дробь: числитель: 66, знаменатель: 11 конец дроби равносильно левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка 6 плюс 6 правая круглая скобка умножить на 12 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 12 в квадрате больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка p минус 13 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 11 правая круглая скобка \geqslant0,$

то есть при $p больше или равно 13,$ поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Искомое наименьшее значение p  =  13.

Ответ: p  =  13.

Примечание.

Можно было сразу воспользоваться тем, что экстремум квадратного трехчлена $ax в квадрате плюс bx плюс c$ равен $минус дробь: числитель: D, знаменатель: конец дроби 4a.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: p  =  13.

640016

p  =  13.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 425

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640016	p  =  13.