PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 
и 
На отрезках BC1 и BD отмечены точки M и N соответственно так, что прямые AM и A1N пересекаются и 
а) Докажите, что угол между прямой D1M и плоскостью BCC1 равен 30°.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью AMN.
Решение. а) Прямые AM и A1N пересекаются, поэтому они лежат в одной плоскости AMN. Пусть P — точка их пересечения, а K — точка пересечения прямой AN с ребром BC. Плоскость AMN содержит прямую AA1, перпендикулярную плоскости основания, а значит, плоскость AMN перпендикулярна основанию.
Через точку K проведем прямую KK1, параллельную прямой AA1, и, следовательно, лежащую в плоскости AMN (поскольку точка K1 лежит на ребре B1C1). Тогда M — точка пересечения прямой KK1 с диагональю BC1. Заметим, что прямая D1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, следовательно, прямая MC1 является проекцией прямой MD1 на эту плоскость, а искомый угол между прямой D1M и плоскостью BCC1 равен углу C1MD1. Треугольники ADN и BKN подобны, следовательно,
Треугольники BKM и BCC1 также подобны, а потому
Находим:
Тогда
то есть 
б) Из п. а) следует, что искомым сечением является прямоугольник AKK1A1. Тогда 
значит,
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |