Ре­ше­ние. а)  Про­из­ве­де­ние цифр числа 444 равно 256, а сумма цифр равна 16, то есть в 16 раз мень­ше про­из­ве­де­ния.

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число су­ще­ству­ет. Оче­вид­но, что среди цифр его де­ся­тич­ной за­пи­си не может быть нулей. Имеем Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 25, по­это­му среди цифр най­дут­ся две цифры 5. Так как при пе­ре­ста­нов­ке ме­ста­ми цифр числа n ра­вен­ство остаётся вер­ным, будем счи­тать, что c  =  5 и d  =  5. Тогда По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть   — такое число. Как и ранее, за­ме­тим, что среди его цифр не может быть нулей. Имеем Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 25, по­это­му среди цифр най­дут­ся две цифры 5. Будем счи­тать, что c  =  5 и d  =  5. Тогда Так как пра­вая часть по­след­не­го ра­вен­ства чётна, a или b чётны. Будем счи­тать, что чётно b. Если b  =  2 , то a  =  a + 12, что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то что не­воз­мож­но. Если b  =  6 , то Число 8655 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр, удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи. Если b  =  8 то Число 6855 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр, удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8655 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр (всего 12 чисел).