PDF-версии: 
На высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку М так, что SM : MO = 1 : 4. Через точку М параллельно грани ADS провели плоскость α.
а) Докажите, что расстояние от прямой ВС до плоскости α относится к расстоянию между прямыми ВС и AS как 9 : 10.
б) Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 20.
Решение. а) Пусть K и P — середины ребер BC и AD соответственно (см. рисунок). Плоскость SPO пересекает параллельные плоскости α и ADS по параллельным прямым SP и MN, где N — такая точка на отрезке OP, что ON : NP = 4 : 1. Значит, 
т. е. KN : KP = 9 : 10.
Плоскость ADS параллельна прямой ВС и проходит через прямую AS, поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми ВС и AS равно расстоянию от прямой ВС до плоскости ADS. В треугольнике PKS проведём высоту KH. Так как прямая KH перпендикулярна прямым SP и AD, лежащим в плоскости ADS, она перпендикулярна плоскости ADS. Значит, расстояние между прямыми ВС и AS равно KH. Пусть KH пересекает прямую MN в точке L. Прямая KH перпендикулярна плоскости ADS и перпендикулярна параллельной ей плоскости α. Прямая ВС параллельна плоскости ADS и параллельна плоскости α. Тогда расстояние от прямой ВС до плоскости α равно KL. Из подобия треугольников KPH и KNL следует, что KL : KH = KN : KP = 9 : 10.
б) Найдем высоту SP треугольника ADS: 
Из треугольника SOP по теореме Пифагора находим, что 
Найдем высоту KH треугольника SPK:
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |