РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639867 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка корень из 3 косинус x минус синус 2x плюс 49 правая круглая скобка = 2.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; \; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$корень из 3 косинус x минус синус 2x плюс 49 = 49 равносильно корень из 3 косинус x минус 2 синус x косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка корень из 3 минус 2 синус x правая круглая скобка = 0.$ $корень из 3 косинус x минус синус 2x плюс 49 = 49 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x минус 2 синус x косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка корень из 3 минус 2 синус x правая круглая скобка = 0.$ $корень из 3 косинус x минус синус 2x плюс 49 = 49 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x минус 2 синус x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка корень из 3 минус 2 синус x правая круглая скобка = 0.$

Значит, либо $косинус x = 0,$ откуда следует, что $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z ,$ либо $синус x = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда следует, что $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ или $x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m,$ $m принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим числа $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

639867

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639867	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$