РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639768 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 424

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $косинус 4 x плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$косинус 4 x плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x равносильно косинус 4 x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус 4 x = минус косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4x = Пи \pm левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k равносильно совокупность выражений 3x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 4 x плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x равносильно косинус 4 x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 4 x = минус косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно 4x = Пи \pm левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 4 x плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x равносильно$
$равносильно косинус 4 x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус 4 x = минус косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4x = Пи \pm левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k равносильно совокупность выражений 3x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$0 меньше или равно дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно Пи равносильно 0 меньше или равно 4 плюс 6k меньше или равно 9 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби ,$

откуда k  =  0, следовательно, $x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби .$ Далее,

$0 меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно Пи равносильно 0 меньше или равно 2 плюс 6k меньше или равно 15 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $k = 0,$ $k = 1$ или $k = 2.$ Найденным значениям параметра соответствуют корни $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 15 конец дроби$ и $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 15 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 15 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

639768

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 15 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 424

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639768	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 9 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 15 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 15 конец дроби .$