РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639688 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 синус 2x плюс 81 = 3 в степени 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 4 синус x косинус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x =0 , косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, x= минус арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 синус 2x плюс 81 = 3 в степени 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 4 синус x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x =0 , косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, x= минус арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 синус 2x плюс 81 = 3 в степени 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 4 синус x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0 , косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, x= минус арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 синус 2x плюс 81 = 3 в степени 4 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 4 синус x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 4 косинус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x =0 , косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, x= минус арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Подходят: π, 2π и $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) π, $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 2π.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

639688

а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) π, $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 2π.

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639688	а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) π, $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 2π.