Ре­ше­ние. а)  Ко­ли­че­ство n-⁠знач­ных чисел равно по­сколь­ку первую цифру можно вы­брать де­вя­тью спо­со­ба­ми, а осталь­ные цифры  — де­ся­тью спо­со­ба­ми. Из этих чисел 9ⁿ не со­дер­жат нулей (каж­дую цифру можно вы­брать 9 спо­со­ба­ми), по­это­му чисел со­дер­жат нули. Умень­ша­е­мое все­гда за­кан­чи­ва­ет­ся на 0, а вы­чи­та­е­мое в за­ви­си­мо­сти от чет­но­сти n  — на 1 или на 9. Зна­чит, a_n за­кан­чи­ва­ет­ся на 1 при не­чет­ных n и на 9 при чет­ных.

б)  Число за­кан­чи­ва­ет­ся на две де­вят­ки, если после при­бав­ле­ния еди­ни­цы оно на­чи­на­ет де­лить­ся на 100. Зна­чит, число

крат­но 100. При n  =  2 число a_n  =  9  — не под­хо­дит. При число крат­но 100, по­это­му число долж­но быть крат­но 100. Рас­кры­вая скоб­ки по фор­му­ле би­но­ма, по­лу­чим:

что крат­но 100 в том и толь­ко том слу­чае, когда n крат­но 10. (Можно было также пе­ре­брать остат­ки сте­пе­ней де­вят­ки от де­ле­ния на 100, они об­ра­зу­ют цикл.)

в)  За­ме­тим, что числа крат­ны 9, но не крат­ны боль­шим сте­пе­ням трой­ки. Зна­чит, все де­ли­те­ли a_n раз­би­ва­ют­ся на груп­пы вида x, 3x, 9x, где x не де­лит­ся на 3. В каж­дой такой груп­пе сумма чисел крат­на 13, по­это­му и общая сумма де­ли­те­лей крат­на 13.

Ответ: а)  1 при не­чет­ных n, 9 при чет­ных n; б)  при n, крат­ных 10; в)  нет.