PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Пусть 
тогда:
Решим неравенство (⁎⁎) полученной системы:
Рассмотрим каждое из полученных решений.
При 
каждое из двух слагаемых левой части уравнения (⁎) отрицательно. Значит, это уравнение, а вместе в ним и исходная система не имеют решений. При 
каждое из двух слагаемых левой части уравнения (⁎) неотрицательно. Значит, это уравнение обращается в верное равенство, только при 
При 
первое слагаемое равно нулю, значит, либо n = 0, либо n = 1. При 
второе слагаемое равно нулю, значит, либо m = 0, либо m = 1. Таким образом, система относительно переменных m и n имеет ровно четыре решения: (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1).
Вернёмся к исходной переменной и рассмотрим четыре полученных решения.
Случай 1:
Значит, исходная система имеет решение при a = 0.
Случай 2:
Полученная система не имеет решений.
Случай 3:
Итак, исходная система имеет решение при 
Случай 4:
Сумма двух положительных взаимно обратных чисел не может быть меньше 2, поэтому полученная система не имеет решений.
Объединяя результаты, получаем, что исходная система имеет решения только при 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |