Тип Д10 C2 № 639334 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке О. Точки M и L — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и L параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AD = 6, BC = 5, SO = 5, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Решение. 
а) Построим сечение пирамиды SABCD плоскостью α. Пусть прямая ML пересекает прямую AC в точке R и прямую BD в точке T. Плоскости SAC и α пересекаются по прямой RQ, где точка Q лежит на ребре SA. Поскольку прямая SO параллельна плоскости α, a прямые RQ и SO лежат в плоскости SAC, то они параллельны. Аналогично получаем, что прямая PT (где точка P лежит на стороне SD) также параллельна прямой SO. Таким образом, точки P и Q лежат в плоскости α, следовательно, четырехугольник MQPL — искомое сечение.
Прямая ML — средняя линия трапеции ABCD, значит, она параллельна прямой AD. Поскольку прямая ML принадлежит плоскости α, то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая AD также параллельна этой плоскости. Прямые AD и PQ лежат в одной плоскости SAD, следовательно, они параллельны, а значит, прямая ML параллельна QP.
Четырехугольник RQPT — параллелограмм (прямая RQ параллельна отрезку PT и прямая ML параллельна отрезку QP), следовательно, PQ = RT. Поскольку прямая ML — средняя линия трапеции ABCD, то она также является средней линией треугольников ABC и треугольника BСВ, следовательно,
откуда
Таким образом, 
значит, четырехугольник PQML является трапецией.
б) Из п. а) следует:
Поскольку прямые SO и AD взаимно перпендикулярны, и при этом прямые ML и AD, а также прямые RQ и SO между собой параллельны, можно заключить, что прямая RQ перпендикулярна прямой ML. Тогда отрезок RQ — высота трапеции MQPL. Треугольники AOD и ORT подобны по двум углам, а потому:
откуда
Треугольники SOA и QRA также подобны по двум углам, откуда находим:
Таким образом,
Ответ: б) 13,75.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 13,75.
PDF-версии: 
