РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 639149 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

У Ани есть 700 руб. Ей нужно купить конверты (большие и маленькие). Большой конверт стоит 28 руб, а маленький  — 22 руб. При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших конвертов больше чем на пять.

а)  Может ли Аня купить 25 конверта?

б)  Может ли Аня купить 29 конвертов?

в)  Какое набольшее число конвертов может купить Аня?

Решение. a)  Аня может купить, например, 10 больших и 15 маленьких конвертов:

$10 умножить на 28 плюс 15 умножить на 22=610 руб.$

б)  Дешевле всего 29 конвертов будут стоить, если купить наибольшее возможное число маленьких конвертов и наименьшее возможное число больших, то есть если купить 12 больших и 17 маленьких, поскольку если больших меньше 12, то маленьких больше 17, и в этом случае разность между числом больших и маленьких больше чем 5. Но тогда стоимость покупки составляет

$12 умножить на 28 плюс 17 умножить на 22=710 руб.,$

что больше, чем имеющиеся 700 руб.

в)  Пусть n и m  — число маленьких и больших конвертов соответственно. Тогда

$система выражений 28 m плюс 22 n меньше или равно 700, |m минус n| меньше или равно 5, m, n=0, 1, 2, ... конец системы .$

Положим $s=n плюс m,$ тогда

$система выражений 6 m плюс 2 2 s меньше или равно 7 0 0, минус 5 меньше или равно 2 m минус s меньше или равно 5, m = 0 , 1 , \ldots , s конец системы . равносильно система выражений m меньше или равно дробь: числитель: 350 минус 11 s, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: s минус 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно m меньше или равно дробь: числитель: s плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби , m=0, 1, \ldots, s . конец системы .$

Следовательно,

$дробь: числитель: s минус 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 350 минус 11 s, знаменатель: 3 конец дроби ,$

а значит,

$s меньше или равно дробь: числитель: 715, знаменатель: 25 конец дроби = целая часть: 28, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 5 .$

Аня может купить не больше 28 конвертов. Покажем, что Аня может купить 28 конвертов. При m  =  12 и n  =  16 получаем $12 умножить на 28 плюс 16 умножить на 22=688 меньше 700.$ Значит, Аня может купить 28 конвертов.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  28.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в, и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  28.

639149

а)  да; б)  нет; в)  28.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639149	а)  да; б)  нет; в)  28.