PDF-версии: 
В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 22.
Решение. a) Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Следовательно, треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём 
и 
Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда
Значит, треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Треугольник C1BC также прямоугольный. Поэтому
Сложим полученные равенства:
Ответ: б) 605.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |