PDF-версии: 
а) Первый член геометрической прогрессии {bn} равен 5, и для всех членов выполняется условие 
В какой наименьшей арифметической прогрессии содержится эта геометрическая прогрессия?
б) Члены последовательности натуральных чисел {an} удовлетворяют условию a1 = 2, a2 = 5 и 
для всех 
При каких значениях n число an делится
в) Последовательности натуральных чисел {xn} задана условиями x1 = 1, x2 = 3 и 
для всех Чему равно x20?
Решение. а) Пусть знаменатель этой прогрессии равен q, тогда 
и 
По условию 
следовательно, 
откуда q = 3 или q = 4.
В первом случае прогрессия имеет формулу 
Тогда 
и поэтому разность арифметической прогрессии не превосходит 
Очевидно, что прогрессия
Во втором случае прогрессия имеет формулу 
Тогда 
и поэтому разность арифметической прогрессии не превосходит 
Прогрессия
что кратно трем.
б) Зная остатки от деления на 13 чисел x и y, определим остатки от деления на 13 числа 5x − 6y. Получим последовательность остатков: 2, 5, 0, 9, 6, 2, 0, 1, 5, 6, 0, 3, 2,
в) Рассуждая аналогично пункту а), заключаем, что условию 
удовлетворяют геометрические прогрессии со знаменателями, являющимися корнями уравнения 
то есть q = 2 или q = −1. Причем если две последовательности удовлетворяют этому условию, то и их сумма с любыми коэффициентами удовлетворяет этому условию. Подберем числа a и b так, чтобы выполнялось равенство 
Подставляя n = 1 и n = 2, получим, что 
и 
откуда 
и 
Теперь можно по индукции доказать, что эта формула верна при всех n. Действительно, для n = 1 и n = 2 это очевидно, а для прочих 
имеем:
что и требовалось доказать.
Окончательно получаем:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |