PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a из отрезка 
при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. При 
справедливы неравенства
Применяя в левой части второго уравнения исходной системы формулу синуса тройного угла, получаем:
Неравенство обращается в равенство, лишь если 
или 
то есть при 
Выделяя в первом уравнении исходной системы полные квадраты, получаем:
Для найденных значений параметра 
поэтому оба уравнения системы выполняются, например, при 
Ответ: 0, π, 2π.
Примечание.
Это задание впервые было предложено для поступающих на механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова в 1995 году.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |