PDF-версии: 
В треугольнике KLM на продолжении стороны KL за точку L взята точка D, точка N лежит на пересечении биссектрисы угла MLD и прямой KM. Отрезки KC и NP — биссектрисы треугольника KLN, 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника LMC, если KL = 10 и ML = 5.
Решение. а) Точка C лежит на биссектрисе угла LKM, а потому равноудалена от прямых KM и KL. Кроме того, она равноудалена от прямых KL и LM. Значит, она равноудалена от прямых KM и LM, то есть MC — биссектриса угла LMN. По условию
поэтому
Значит, MP — биссектриса угла LMK. Тогда точка P равноудалена от прямых NM, ML и LN. Таким образом, углы PLM, MLC и CLD равны. В сумме эти три угла дают развернутый угол, поэтому 
Что и требовалось доказать.
б) По теореме косинусов
Заметим, что 
тогда 
и 
Следовательно, треугольник KLN равнобедренный, а отрезок LM — его высота и биссектриса. По доказанному ранее отрезок MC — биссектриса треугольника LMN, поэтому
Отсюда
Тогда площадь треугольника CML равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |