РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 637855 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 417

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство:

Решение. Перейдем к основанию  4:

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 16 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 16 в квадрате дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 , знаменатель: 64 конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 64 правая круглая скобка левая круглая скобка x в кубе минус 6 x в квадрате плюс 12 x минус 8 правая круглая скобка в квадрате меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби .$

Пусть $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =t,$ тогда

$левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби t меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 12t плюс 9 правая круглая скобка минус 5t меньше 30 равносильно 4t в кубе минус 4t в квадрате минус 20t минус 12 меньше 0 равносильно t в кубе минус t в квадрате минус 5t минус 3 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 1, минус 1 меньше t меньше 3. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби t меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 12t плюс 9 правая круглая скобка минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно 4t в кубе минус 4t в квадрате минус 20t минус 12 меньше 0 равносильно t в кубе минус t в квадрате минус 5t минус 3 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 1, минус 1 меньше t меньше 3. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби t меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 12t плюс 9 правая круглая скобка минус 5t меньше 30 равносильно 4t в кубе минус 4t в квадрате минус 20t минус 12 меньше 0 равносильно$
$равносильно t в кубе минус t в квадрате минус 5t минус 3 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 1, минус 1 меньше t меньше 3. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби t меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 12t плюс 9 правая круглая скобка минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно 4t в кубе минус 4t в квадрате минус 20t минус 12 меньше 0 равносильно$
$равносильно t в кубе минус t в квадрате минус 5t минус 3 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 1, минус 1 меньше t меньше 3. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби t меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 12t плюс 9 правая круглая скобка минус 5t меньше 30 равносильно$
$равносильно 4t в кубе минус 4t в квадрате минус 20t минус 12 меньше 0 равносильно t в кубе минус t в квадрате минус 5t минус 3 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 1, минус 1 меньше t меньше 3. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше минус 1, минус 1 меньше логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 4 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , 4 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 4 в кубе конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 0,5 меньше x минус 2 меньше 0, 0 меньше x минус 2 меньше 0,5, минус 8 меньше x минус 2 меньше минус 0,5 , 0,5 меньше x минус 2 меньше 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1,5 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 2,5, минус 6 меньше x меньше 1,5 , 2,5 меньше x меньше 10. конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше минус 1, минус 1 меньше логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 4 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , 4 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 4 в кубе конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 0,5 меньше x минус 2 меньше 0, 0 меньше x минус 2 меньше 0,5, минус 8 меньше x минус 2 меньше минус 0,5 , 0,5 меньше x минус 2 меньше 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1,5 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 2,5, минус 6 меньше x меньше 1,5 , 2,5 меньше x меньше 10. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 6; 1,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,5; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5; 10 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

637855

$левая круглая скобка минус 6; 1,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,5; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5; 10 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 417

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	637855	$левая круглая скобка минус 6; 1,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,5; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5; 10 правая круглая скобка .$