PDF-версии: 
i
Рассматриваются целочисленные прямоугольные треугольники, то есть такие прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами.
а) В треугольнике длина одной из сторон равна 12. Найдите все возможные значения длин других сторон этого треугольника.
б) Длина h высоты, опущенной на гипотенузу, также выражается целым числом. Найдите наименьшее возможное значение h.
в) В треугольнике 
где c — длина гипотенузы, b — длина одного из катетов. Последняя цифра десятичной записи периметра этого треугольника равна 6. Чему равны последние цифры десятичной записи длин сторон этого треугольника?
то 
Тогда 
то есть 
Найдем другой катет: 
то есть 
Числа 
и 
имеют одинаковую четность и 
Раскладывая всеми возможными способами число 144 на два четных множителя (на два нечетных разложить нельзя) получаем:
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
и 
Это рациональные числа (треугольники, на которые высота делит данный треугольник, подобны исходному и имеют по две целых стороны), значит, и целые, поскольку корень из целого числа либо целый, либо иррациональный. Поэтому h является катетом двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, подобных друг другу. По аналогии с пунктом а) выясним, когда это возможно. Будем представлять числа 
в виде разности квадратов, то есть виде произведений вида 
— 
или h — простое число, то h2 имеет не более одного такого разложения и подходить не может. Тогда
единственный вариант;
единственный вариант;
что дает треугольники 15, 8, 17 и 6, 8, 10, неподобные друг другу;
что дает треугольники 40, 9, 41 и 12, 9, 15, неподобные друг другу;
единственный вариант.
заканчивается на 6 только если a заканчивается на 2 или на 7. Но если a четно, то 
— 
либо на 4 и 5, либо на 9 и 0. Первый вариант возможен, например, при сторонах 7, 24, 25. На 9 число bзаканчиваться не может, поскольку 