PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два корня на 
Решение. Обозначим в исходном уравнении 
тогда
В системе координат sOt уравнение (⁎) задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом
пересекающих ось ординат в точке 
В силу введённых обозначений справедливо равенство 
задающее в системе координат sOt единичную окружность с центром в точке О.
Заметим, что из неравенства 
следует, что 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (⁎), имеют с единичной окружностью (⁎⁎) две точки пересечения, на дуге, для которой 
(см. рис., выделено оранжевым). Таким образом, исходная задача свелась к отысканию таких значений параметра, для которых 
Значение s1 найдём, подставив в уравнение прямой 
(выделено зелёным) координаты точки 
Значение s2 для прямой, касающейся дуги окружности (выделено синим), найдём, используя формулу расстояния от точки до прямой. Для точки 
и прямой 
получаем:
С другой стороны, найденное расстояние есть радиус окружности, то есть 1. Учитывая , что 
получаем:
Таким образом,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |