Тип 17 № 636519 
Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей
i
Вписанная в треугольник ABC окружность с центром в точке О касается стороны BC в точке К. Окружность с центром в точке O1 касается стороны BC в точке L, а также касается продолжения сторон AC и AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние 
если известно, что AC = 7, BC = 24 и AB = 25.
Решение. 
а) Пусть окружность с центром в точке O касается прямой AB в точке Q, а прямой AC — в точке P. Окружность с центром в точке O1 касается прямой AB в точке N, а прямой AC — в точке M. Заметим, что BL = BN и CL = CM, следовательно, AN + AM есть периметр треугольника ABC. Тогда 
где p — полупериметр треугольника ABC.
Далее, CK = CP, AP = AQ и BK = BQ, следовательно, 
или 
Но тогда 
что и требовалось доказать.
б) Заметим, что 
тогда угол ACB равен 90°, из чего следует, что четырехугольник CLO1M — квадрат. Таким образом,
Значит, четырехугольник POKC — тоже квадрат, откуда
и 
Тогда по тереме Пифагора
откуда OO1 = 30.
Ответ: б) 30.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 30.
PDF-версии: