PDF-версии: 
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 9 и 
Решение. a) Поскольку прямые AC и BC перпендикулярны, прямая BC — касательная к окружности. Прямая BO перпендикулярна прямой CN. Точка N лежит на окружности с диаметром CM, поэтому
Прямые BO и MN перпендикулярны одной и той же прямой CN, следовательно, они параллельны.
б) Пусть 
и 
Тогда:
По свойству секущей и касательной, проведённых из одной точки, 
следовательно, 
Поскольку прямые MN и BO параллельны, по теореме Фалеса получаем:
следовательно, 
Отрезки BC и BN равны как отрезки касательных о окружности, проведённых из одной точки, значит, 
Поскольку 
прямоугольные треугольники CNM и BCO подобны, следовательно,
Из подобия треугольников AMN и AOB следует, что
Пусть отрезки BO и CN пересекаются в точке P. Тогда P — середина CN и 
По формуле площади трапеции находим:
Ответ: б) 40,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |