PDF-версии: 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. На ребре BB1 отмечена точка K так, что 
Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что 
где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями α и BB1C1.
Решение. a) В плоскости BDD1 через точку K проведём прямую, параллельную BD1 и пересекающую прямую B1D1 в точке L. Прямая C1L пересекает ребро A1B1 в точке P. Плоскость KC1P проходит через прямую KL, параллельную B1D1, поэтому плоскость KC1P параллельна прямой B1D1 по признаку параллельности прямой и плоскости. Значит, треугольник KC1P — сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью α.
Так как прямые B1D1 и KL параллельны, то
Треугольники B1LP и D1LC1 подобны, поэтому
Значит, 
б) Из точки B1 опустим перпендикуляр B1H на прямую C1K. По теореме о трёх перпендикулярах прямые PH и C1K перпендикулярны. Значит, угол B1HP искомый. Поскольку получаем: 
В прямоугольном треугольнике B1C1K имеем
Значит,
то есть 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |