PDF-версии: 
Марина составляет из n четверок числа и находит всевозможные их суммы. Например, если n = 4, то возможных сумм было бы 5:
а) Может ли одна из сумм S равняться 460, если n = 25?
б) Может ли одна из сумм S равняться 800, если n = 25?
в) Сколько существует различных значений n, для которых одна из сумм равна 800?
Решение. а) Заметим, что 
причем на 10 чисел, равных 44
б) Остаток от деления 
на 9 и равен 1. Но 800 дает остаток 8 при делении на 9.
в) Из предыдущего пункта следует, что 4n должно давать тот же остаток при делении на 9, что и 800, то есть 8. Значит, 
кратно 9, поэтому n дает остаток 2 при делении на 9.
Для получения суммы 800 можно использовать только слагаемые 4, 44, 444, причем последнее не более одного раза. Поскольку 
и 
использовать 11 и менее четверок невозможно. Тогда 
это позволяет использовать 20 четверок.
Заменяя по очереди каждое 44 на сумму одиннадцати четверок, мы будем увеличивать общее количество цифр на 9, что даст варианты с 
четверками.
Далее, 
это позволяет использовать 101 четверку. После этого вновь заменяя 44 на сумму одиннадцати четверок, мы получим варианты 110, 121, ..., 200.
Больше нельзя, поскольку любое число из k четверок не меньше 4k, значит, сумма чисел, в которых более двухсот четверок, больше 800. Итак, 
Эти числа можно записать в виде 
где 
всего 21 число.
Ответ: а) да; б) нет; в) 21.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |