РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 635747 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Разложим на множители, используя основное тригонометрическое тождество:

$синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$ $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$ $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$

откуда

$синус x =1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

Уравнение $синус x плюс косинус x плюс 2 = 0$ решений не имеет, поскольку синус и косинус одного аргумента не обращаются в −1 одновременно.

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k =0.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

635747

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	635747	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$