Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что при­чем на 10 чисел, рав­ных 44 и 5 чисел, рав­ных 4, ушло ровно 25 чет­ве­рок.

б)  Оста­ток от де­ле­ния на 9 лю­бо­го числа сов­па­да­ет с остат­ком от де­ле­ния на 9 его суммы цифр. Кроме того, оста­ток суммы равен сумме остат­ков сла­га­е­мых (воз­мож­но, умень­шен­ной на опре­де­лен­ное число, крат­ное 9). Зна­чит, оста­ток от де­ле­ния любой такой суммы на 9 сов­па­да­ет с остат­ком от де­ле­ния на 9 и равен 1. Но  800 дает оста­ток  8 при де­ле­нии на  9.

в)  Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что 4n долж­но да­вать тот же оста­ток при де­ле­нии на 9, что и 800, то есть 8. Зна­чит, крат­но 9, по­это­му n дает оста­ток 2 при де­ле­нии на 9.

Для по­лу­че­ния суммы 800 можно ис­поль­зо­вать толь­ко сла­га­е­мые 4, 44, 444, при­чем по­след­нее не более од­но­го раза. По­сколь­ку и ис­поль­зо­вать 11 и менее чет­ве­рок не­воз­мож­но. Тогда это поз­во­ля­ет ис­поль­зо­вать 20 чет­ве­рок.

За­ме­няя по оче­ре­ди каж­дое 44 на сумму один­на­дца­ти чет­ве­рок, мы будем уве­ли­чи­вать общее ко­ли­че­ство цифр на 9, что даст ва­ри­ан­ты с чет­вер­ка­ми.

Далее, это поз­во­ля­ет ис­поль­зо­вать 101 чет­вер­ку. После этого вновь за­ме­няя 44 на сумму один­на­дца­ти чет­ве­рок, мы по­лу­чим ва­ри­ан­ты 110, 121, ..., 200.

Боль­ше нель­зя, по­сколь­ку любое число из k чет­ве­рок не мень­ше 4k, зна­чит, сумма чисел, в ко­то­рых более двух­сот чет­ве­рок, боль­ше 800. Итак, Эти числа можно за­пи­сать в виде где всего 21 число.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  21.

а)  Да. Если, на­при­мер, всего ра­бо­та­ют 75 гно­ми­ков и из них при­шли без опоз­да­ния 37, то усло­вие будет вы­пол­не­но, по­сколь­ку

б)  Нет. Пусть всего гно­ми­ков x, а на со­бра­нии из­на­чаль­но при­сут­ство­ва­ло y. Тогда и   — целые числа, зна­чит, и их раз­ность   — целое число. Но у 100 нет де­ли­те­лей в про­ме­жут­ке от 60 до 80.

в)  Оче­вид­но, этот про­цент будет наи­боль­шим целым, когда про­цент при­шед­ших гно­ми­ков будет наи­мень­шим целым. Если, на­при­мер, при­шли 3 гно­ми­ка из 75 (сна­ча­ла 2, а потом еще 1), то про­цент при­шед­ших со­став­ля­ет а не­при­шед­ших, со­от­вет­ствен­но, 96.

Раз­бе­рем осталь­ные слу­чаи. Оче­вид­но,

по­это­му один про­цент гно­ми­ков явить­ся не мог.

Если то од­на­ко среди чисел от 60 до 80 нет де­ля­щих­ся на 50.

Если то от­ку­да де­лит­ся на 100. Тогда и x де­лит­ся на 100, од­на­ко среди чисел от 60 до 80 нет де­ля­щих­ся на 100.

Зна­чит, мень­шие ва­ри­ан­ты про­цен­та явив­ших­ся не­воз­мож­ны.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  96.