РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 635745 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Задача с параметром. Уравнение окружности

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:

имеет хотя бы один корень на промежутке [0,5; 4].

ИЛИ

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых все решения уравнения:

принадлежат отрезку [−3; 0].

Решение.

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Чтобы найти нули числителя, получим квадратное относительно параметра уравнение и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета:

$дробь: числитель: 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 3 x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка =0,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате минус a левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x=0 ,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a= логарифм по основанию 2 x,a=2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x, конец системы .x не равно 3,x больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 3 x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 a в квадрате плюс 3 a x плюс левая круглая скобка 4 минус 3 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x минус 2 a левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка =0,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате минус a левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x=0 ,x не равно 0, x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a= логарифм по основанию 2 x,a=2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x, конец системы .x не равно 3,x больше 0. конец совокупности .$

Построим график полученной системы на отрезке [0,5; 4] в системе координат xOa. По графику определяем, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке [0,5; 4] при $минус 4 меньше или равно a меньше минус 2,5,$ $минус 2,5 меньше a меньше логарифм по основанию 2 3$ или при $логарифм по основанию 2 3 меньше a меньше или равно 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 4; минус 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2,5; логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3; 2 правая квадратная скобка .$

ИЛИ

Преобразуем левую часть уравнения:

$3 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 2 a x минус 2 a правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 2xa плюс a в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .$

Пусть $m=|x плюс a|$ и $n=|a минус 1|,$ тогда

$3 в степени левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: m плюс 5n, знаменатель: 2n конец дроби равносильно 3 в степени левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: 2n конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка n в квадрате левая круглая скобка 1 минус \tfracm в квадрате правая круглая скобка n в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: 2n конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $3 в степени левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: m плюс 5n, знаменатель: 2n конец дроби равносильно 3 в степени левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: 2n конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка n в квадрате левая круглая скобка 1 минус \tfracm в квадрате правая круглая скобка n в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: 2n конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Пусть $t= дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: |x плюс a|, знаменатель: |a минус 1| конец дроби ,$ тогда $t больше или равно 0$ и

$3 в степени левая круглая скобка n в квадрате левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: t плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что при $t больше или равно 0$ функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка n в квадрате левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка$ является убывающей, а функция $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: t плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби$   — возрастающей, значит, уравнение имеет не более одного корня. При $t=1$ уравнение обращается в верное равенство, поэтому $t=1$   — единственный корень этого уравнения. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

$дробь: числитель: |x плюс a|, знаменатель: |a минус 1| конец дроби =1 равносильно система выражений |x плюс a|=|a минус 1|,a не равно 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x плюс a=a минус 1,x плюс a=1 минус a, конец системы . a не равно 1 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 1,x=1 минус 2a, конец системы . a не равно 1. конец совокупности .$ $дробь: числитель: |x плюс a|, знаменатель: |a минус 1| конец дроби =1 равносильно система выражений |x плюс a|=|a минус 1|,a не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x плюс a=a минус 1,x плюс a=1 минус a, конец системы . a не равно 1 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 1,x=1 минус 2a, конец системы . a не равно 1. конец совокупности .$

Все корни уравнения принадлежат отрезку [−3; 0] при выполнении следующих условий:

$система выражений 1 минус 2a больше или равно минус 3,1 минус 2a меньше или равно 0,a не равно 1 конец системы . равносильно система выражений a меньше или равно 2,a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,a не равно 1 конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше 1,1 меньше a меньше или равно 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

ИЛИ

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Ключ