РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 635742 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80.$

ИЛИ

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: \left|x в квадрате минус 2 x| плюс 4, знаменатель: |x плюс 2| плюс x в квадрате конец дроби меньше или равно 0.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$

Пусть $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда

$система выражений левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка t меньше 20,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате плюс t минус 20 меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений минус 5 меньше t меньше 4,t не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 5 меньше t меньше 0,0 меньше t меньше 4. конец совокупности .$ $система выражений левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка t меньше 20,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате плюс t минус 20 меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 5 меньше t меньше 4,t не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 5 меньше t меньше 0,0 меньше t меньше 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 5 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 0,0 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка меньше 2 в степени x минус 1 меньше 1,1 меньше 2 в степени x минус 1 меньше 2 в степени 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 33, знаменатель: 32 конец дроби меньше 2 в степени x меньше 2 ,2 меньше 2 в степени x меньше 17 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 33 минус 5 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше логарифм по основанию 2 17. конец совокупности .$ $совокупность выражений минус 5 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 0,0 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка меньше 2 в степени x минус 1 меньше 1,1 меньше 2 в степени x минус 1 меньше 2 в степени 4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 33, знаменатель: 32 конец дроби меньше 2 в степени x меньше 2 ,2 меньше 2 в степени x меньше 17 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 33 минус 5 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше логарифм по основанию 2 17. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 33 минус 5; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию 2 17 правая круглая скобка .$

ИЛИ

В силу убывания логарифмической функции с основанием, меньшим единицы,

Знаменатель полученной дроби положителен при всех значениях x, поэтому на него можно умножить без изменения знака неравенства:

$\left|x в квадрате минус 2 x| плюс 4 больше или равно |x плюс 2| плюс x в квадрате .$

Рассмотрим три случая раскрытия модулей.

1 случай. При $x меньше или равно минус 2$ получаем:

$система выражений x меньше или равно минус 2,x в квадрате минус 2x плюс 4 больше или равно минус x минус 2 плюс x в квадрате конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно минус 2,x меньше или равно 6 конец системы . равносильно x меньше или равно минус 2.$

2 случай. При $минус 2 меньше x меньше или равно 0$ или $x больше или равно 2$ получаем:

$система выражений совокупность выражений минус 2 меньше x меньше или равно 0,x больше или равно 2, конец системы . x в квадрате минус 2x плюс 4 больше или равно x плюс 2 плюс x в квадрате конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений минус 2 меньше x меньше или равно 0,x больше или равно 2, конец системы . x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно минус 2 меньше x меньше или равно 0.$

3 случай. При $0 меньше x меньше 2$ получаем:

$система выражений 0 меньше x меньше 2, минус x в квадрате плюс 2x плюс 4 больше или равно x плюс 2 плюс x в квадрате конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x меньше 2,2x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x меньше 2, дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 17, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 17, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 17, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$

Объединяя полученные результаты, получаем, что $x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 17, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 17, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

ИЛИ

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Ключ