РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 635740 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

ИЛИ

а)  Решите уравнение $2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате x конец аргумента правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Разложим на множители, используя основное тригонометрическое тождество:

$синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$ $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$ $синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка плюс синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс косинус x плюс 2 правая круглая скобка =0,$

откуда

$синус x =1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

Уравнение $синус x плюс косинус x плюс 2 = 0$ решений не имеет, поскольку синус и косинус одного аргумента не обращаются в −1 одновременно.

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k =0.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

ИЛИ

а)  Используя основной тригонометрическое тождество и извлекая квадратный корень, получаем:

$корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате x конец аргумента = корень из: начало аргумента: синус в квадрате x конец аргумента = | синус x|,$

откуда получаем:

$2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка | синус x| правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023.$

Разберем два случая.

Если $синус x больше или равно 0,$ то

$2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023 равносильно 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 1 равносильно синус x = 0 равносильно x= Пи k ,k принадлежит Z .$

Если $синус x меньше или равно 0,$ то

$2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 2023 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 2024= 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 1,3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = минус 2024 конец совокупности . равносильно синус x = 0 равносильно x= Пи k ,k принадлежит Z .$ $2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 2023 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 2024= 0 равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 1,3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = минус 2024 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x = 0 равносильно x= Пи k ,k принадлежит Z .$ $2024 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2023 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 2023 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 2024= 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = 1,3 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = минус 2024 конец совокупности . равносильно синус x = 0 равносильно x= Пи k ,k принадлежит Z .$

Таким образом, решением уравнения являются числа $x= Пи k ,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства.

$дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи k меньше или равно дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда k  =  2 или k  =  3. Таким образом, на заданном отрезке лежат корни $2 Пи$ и $3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ;$ $3 Пи .$

Критерии проверки:

ИЛИ

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Ключ