РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 634878 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

имеет решения, ни одно из которых не принадлежит отрезку [2; 8].

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно логарифм по основанию a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию a x правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a в квадрате x плюс логарифм по основанию a x минус 6 меньше или равно 0 равносильно минус 3 меньше или равно логарифм по основанию a x меньше или равно 2 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе меньше или равно x меньше или равно a в квадрате , при a больше 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе больше или равно x больше или равно a в квадрате при 0 меньше a меньше 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно логарифм по основанию a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию a x правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно логарифм по основанию a в квадрате x плюс логарифм по основанию a x минус 6 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно логарифм по основанию a x меньше или равно 2 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе меньше или равно x меньше или равно a в квадрате , при a больше 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе больше или равно x больше или равно a в квадрате при 0 меньше a меньше 1. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно логарифм по основанию a в квадрате левая круглая скобка a x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию a x правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию a x меньше или равно 7 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию a в квадрате x плюс логарифм по основанию a x минус 6 меньше или равно 0 равносильно минус 3 меньше или равно логарифм по основанию a x меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе меньше или равно x меньше или равно a в квадрате , при a больше 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе больше или равно x больше или равно a в квадрате при 0 меньше a меньше 1. конец совокупности .$

При $a больше 1$ ни одно из решений не принадлежит отрезку [2; 8], если

$система выражений a больше 1, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе больше 8,a в квадрате меньше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений a больше 1,a в квадрате меньше 2 конец системы . равносильно 1 меньше a меньше корень из 2 .$

При $0 меньше a меньше 1$ ни одно из решений не принадлежит отрезку [2; 8], если

$система выражений 0 меньше a меньше 1, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе меньше 2,a в квадрате больше 8 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений 0 меньше a меньше 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби a в кубе меньше 2 конец системы . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень 3 степени из 2 меньше a меньше 1.$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень 3 степени из 2 ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

634878

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень 3 степени из 2 ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	634878	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень 3 степени из 2 ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка .$