РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 634875 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Решение. Используя формулу перехода к новому основанию, перейдем к десятичным логарифмам и применим метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 минус левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 3 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 ,1 минус логарифм по основанию 3 x больше 0 конец системы . система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 в кубе x больше или равно минус 1 , логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 в кубе x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы . логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1,0 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 минус левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 3 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 ,1 минус логарифм по основанию 3 x больше 0 конец системы . система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 в кубе x больше или равно минус 1 , логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 в кубе x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы . логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1,0 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 минус левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 3 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 ,1 минус логарифм по основанию 3 x больше 0 конец системы . система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 в кубе x больше или равно минус 1 , логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 в кубе x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы . логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1,0 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 минус левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 3 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 ,1 минус логарифм по основанию 3 x больше 0 конец системы . система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 в кубе x больше или равно минус 1 , логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 в кубе x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы . логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1,0 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию x в квадрате 3 минус левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 3 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 ,1 минус логарифм по основанию 3 x больше 0 конец системы . система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию x в квадрате 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс 1 больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 в кубе x больше или равно минус 1 , логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в кубе x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 в кубе x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы . логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1,0 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

634875

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	634875	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка .$