Тип 14 № 634874 
Стереометрическая задача. Объёмы многогранников
i
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 
На ребре DD1 отмечена точка M так, что 
Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и B.
а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A1, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α.
Решение. 
а) Заметим, что прямые A1F1, BE и CD параллельны, следовательно, плоскость α параллельна прямой CD и пересекает плоскости BCD и MCD по прямым, параллельным прямой CD. Одна из этих прямых — BE, параллельная стороне CD, а вторая — MN, параллельная стороне CD, где точка N лежит на ребре CС1. Таким образом, сечением является четырехугольник BEMN, в котором прямые BE и MN параллельны, и
При этом MD = CN и BC = ED, следовательно, BN = EM и, значит, BEMN — равнобедренная трапеция.
б) Рассмотрим сечение призмы, проходящее через точки P, Q, R и S — середины ребер AF, A1F1, C1D1 и CD соответственно. Это сечение пересекает отрезки MN и BE в их серединах — точках K и O соответственно (точка O — центр основания призмы). Очевидно, что указанное сечение перпендикулярно BE, MN и A1F1, следовательно, отрезок KO — высота трапеции BEMN, а расстояние от точки A1 до плоскости α равно расстоянию до нее от точки Q. Из точки Q на прямую KO опустим перпендикуляр 
следовательно, отрезки QH и BE перпендикулярны, а значит, отрезок QH перпендикулярен плоскости α и является расстоянием от точки Q до плоскости α, то есть равен высоте пирамиды A1BEMN.
Пусть G — точка пересечения QH и PS. Заметим, что прямоугольные треугольники KSO, GHO и GPQ подобны по двум углам. Далее имеем:
откуда получаем
Тогда
следовательно,
Таким образом, 
а значит,
Итого:
Ответ: б) 189.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 189.
PDF-версии: 
