а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулу синуса разности:
Тогда уравнение принимает вид
Положим, 
тогда
откуда
Вернемся к исходной переменной:
б) Определим корни, лежащие на отрезке 
:
Найденным значениям параметра соответствуют корни 
Ответ: а) 
б)
Примечание 1.
В школьных учебниках обычно приводится именно такой путь решения уравнений, содержащих 
и 
Можно было бы поступить несколько иначе, обозначив 
Приведем такое решение, для этого возведем обе части уравнения
в квадрат. При этом могут появиться посторонние корни, которые отбросим, сделав проверку. Имеем:
Положим, 
тогда
откуда
Подставим найденную серию в исходное уравнение, получим:
При четных значениях k в силу периодичности синуса и косинуса находим:
Итак, все четные значения параметра подходят, поэтому все члены серии 
являются решениями уравнения. При нечетных значениях k, используя периодичность и применяя формулы приведения, имеем:
Таким образом, все члены серии 
являются посторонними корнями.
Ответ: 
Следующие два решения используют ограниченность тригонометрических функций.
Приведем другое решение п. а).
Упростим правую часть уравнения:
Тогда
Полученное произведение может быть равно 1 тогда и только тогда, когда модуль каждого из сомножителей равен 1, откуда получаем:
или
Решим второе уравнение первой системы:
Подставим найденную серию в первое уравнение:
Получено верное равенство, поэтому найденная серия является решением исходного уравнения.
Решим второе уравнение второй системы:
Подставим найденную серию в первое уравнение:
Теперь получено неверное равенство, значит, эта система несовместна.
Таким образом, серия 
дает все решения уравнения.
Приведем еще одно решение уравнения, использующее ограниченность функций.
Используем формулу для преобразования произведения синусов:
Решим уравнение:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)