РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 634239 Добавить в вариант

Источник/автор: Г. Н. Сумина (ФГБОУ ВО «АмГПГУ», г. Комсомольск-на-Амуре)

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Конечная последовательность a₁, a₂, ... a_n состоит из $n больше или равно 3$ не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2 a_k плюс 1 минус a_k плюс 1.$

a) Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  3.

б)  Может ли в такой последовательности оказаться так, что a₃  =  a₁₁?

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?

Решение. К решению этой задачи можно подойти иначе, чем в задании 634238.

Из формулы

$a_k плюс 2=2 a_k плюс 1 минус a_k плюс 1 \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

получим следующую формулу

$a_k плюс 2 минус a_k плюс 1=a_k плюс 1 минус a_k плюс 1.$

Левую часть обозначим $a_k плюс 2 минус a_k плюс 1=d_k плюс 1,$ а правую часть представим $a_k плюс 1 минус a_k плюс l=d_k плюс 1.$ Тогда формула (1) выглядит $d_k плюс 1=d_k плюс 1,$ где d_k  — это разность между $a_k плюс 1$ и a_k.

Каждая последующая разность увеличивается на единицу. Приведем пример такой последовательности при n  =  5, в которой $a_5=3.$

a) Пусть $a_2 минус a_1=d_1$ или $a_2=a_1 плюс d_1,$ тогда:

1)  при k  =  1, получим $a_3 минус a_2=a_2 минус a_1 плюс 1,$ откуда $a_3 минус a_2=d_2$ или $a_3=a_2 плюс d_2,$ тогда

$a_3=a_1 плюс d_1 плюс d_2;$

2)  при k  =  2, получим $a_4 минус a_3=d_3,$ тогда $a_4=a_3 плюс d_3=a_1 плюс d_1 плюс d_2 плюс d_3$ или

$a_4=a_1 плюс d_1 плюс левая круглая скобка d_1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка d_1 плюс 2 правая круглая скобка ;$

3)  при k  =  3, получим $a_5 минус a_4=d_4,$ тогда $a_5=a_4 плюс d_4=a_1 плюс d_1 плюс d_2 плюс d_3 плюс d_4$ или

$a_5=a_1 плюс d_1 плюс левая круглая скобка d_1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка d_1 плюс 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка d_l плюс 3 правая круглая скобка .$

При n  =  5 и $a_5=3,$ получим

$a_5=a_1 плюс 4 d_1 плюс 6=3,$ $a_1 плюс 4 d_l= минус 3, d_1= дробь: числитель: минус 3 минус a_1, знаменатель: 4 конец дроби ,$

где d₁  — целое число, следовательно, $левая круглая скобка минус 3 минус a_1 правая круглая скобка$ кратно 4.

При a₁  =  5 разность $d_1= минус 2,$ тогда

$a_2=5 минус 2=3,$ $a_3=3 минус 1=2,$ $a_4=2 плюс 0=2,$ $a_5=2 плюс 1=3.$

Искомая последовательность может быть представлена в виде: 5; 3; 2; 2; 3.

б)  Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_3=a_11:$

$a_3=a_1 плюс d_1 плюс d_2=a_1 плюс 2 d_1 плюс 1,$ $a_11=a_1 плюс d_1 плюс d_2 плюс \ldots плюс d_10=a_1 плюс 10 d_1 плюс 45.$

Если $a_3=a_11,$ то получим следующее равенство:

$a_1 плюс 2 d_1 плюс 1=a_1 плюс 10 d_1 плюс 45 равносильно 8 d_1= минус 44,$

откуда $d_1= минус дробь: числитель: 44, знаменатель: 8 конец дроби = минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби$   — не целое. Тогда последовательность не может состоять из натуральных чисел. Следовательно, $a_3 не равно q a_11.$

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?

Мы заметили, что с возрастанием индекса k значение d_k увеличивается. Поэтому, чтобы членов последовательности, не превосходящих 50 , было больше, потребуем, чтобы d₁ было отрицательным, тогда d_k с возрастанием k будет увеличивается и минимальный член последовательности $a_\min$ достигнет своего значения при $d_k=0.$

Тогда

$a_\min =a_1 плюс d_1 плюс d_2 плюс \ldots плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0=a_1 плюс d_1 плюс левая круглая скобка d_1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка d_1 плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0.$ $a_\min =a_1 плюс d_1 плюс d_2 плюс \ldots плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0=$
$=a_1 плюс d_1 плюс левая круглая скобка d_1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка d_1 плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0.$

Для удобства решения заменим $минус d_l=P,$ тогда P  — положительное число. Значит,

$a_\min =a_1 минус P минус левая круглая скобка P минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка P минус 2 правая круглая скобка \ldots минус 1=$
$=a_1 минус левая круглая скобка P плюс левая круглая скобка P минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка P минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1 правая круглая скобка =a_1 минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс P правая круглая скобка умножить на P, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1,$ $a_\min =a_1 минус P минус левая круглая скобка P минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка P минус 2 правая круглая скобка \ldots минус 1=$
$=a_1 минус левая круглая скобка P плюс левая круглая скобка P минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка P минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1 правая круглая скобка =$
$=a_1 минус дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс P правая круглая скобка умножить на P, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1,$

следовательно, при $a_1 больше или равно 50$ получаем

$50 минус дробь: числитель: P левая круглая скобка P плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1 \Rightarrow P в квадрате плюс P минус 98 меньше или равно 0 \Rightarrow P меньше или равно 9,$

тогда $d_1 \geqslant минус 9.$

В нашей последовательности разности d_k принимают значения от −9 до 9, всего разностей d_k будет 19 (вместе с нулевым значением), а членов последовательности будет 20 (с учетом a₁). Мы получим следующую последовательность

$левая фигурная скобка 50, 41, 33, 26, 20, 15, 11, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, 33, 41, 50 правая фигурная скобка .$

Ответ: a) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) n  =  20.

Примечание.

Следует обратить внимание учащихся на тот момент, что при $d_1 меньше 0$ члены последовательности сначала убывают, а начиная с $d_k=0$ члены последовательности начинают возрастать. То есть последовательность состоит из двух «участков»: «участка» убывания и «участка» возрастания.

В некоторых задачах поставлен такой вопрос: «Может ли в такой последовательности некоторое число встретиться три раза»? Конечно же, нет. На участке возрастания, как и на участке убывания, каждое число встречается не более одного раза. В последовательности некоторое число может встретиться 2 раза при $d_k= минус 1$ и $d_k плюс 1=0.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: a) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) n  =  20.

634239

a) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) n  =  20.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	634239	a) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) n  =  20.