Ре­ше­ние. a)  n  =  5, по­это­му k при­ни­ма­ет зна­че­ния от 1 до 3, вклю­чая число 3.

При k  =  1 по­лу­ча­ем фор­му­лу

Можно за­пи­сать эту фор­му­лу иначе:

При k  =  2 вы­ра­зим a₄:

то есть Можно пред­ста­вить эту фор­му­лу в виде:

При k  =  3 вы­ра­зим a₅ через a₂ и a₁:

от­ку­да

Пятый член по­сле­до­ва­тель­но­сти при­ни­ма­ет целое зна­че­ние в том и толь­ко в том слу­чае, когда крат­но 216. Можно взять тогда

Най­дем a₃ и a₄:

Тогда ис­ко­мая по­сле­до­ва­тель­ность, со­сто­я­щая из пяти чле­нов, пред­став­ля­ет собой сле­ду­ю­щие числа: 1; 217; 253; 259; 260. Она дей­стви­тель­но со­сто­ит толь­ко из на­ту­раль­ных чисел и яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей.

б)  Вы­яс­нить, может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при не­ко­то­ром вы­пол­нять­ся ра­вен­ство Ответ на­пра­ши­ва­ет­ся от­ри­ца­тель­ный, так как a_n не за­ви­сит от n, то есть на­чи­ная с тре­тье­го члена по­сле­до­ва­тель­но­сти все члены ее будут равны од­но­му и тому же числу 5. То есть на­чи­ная с тре­тье­го члена по­сле­до­ва­тель­ность не будет яв­лять­ся воз­рас­та­ю­щей. По­пы­та­ем­ся иначе обос­но­вать наш ответ.

По­пы­та­ем­ся иначе обос­но­вать наш ответ. Обоб­щим фор­му­лы для чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти a₃, a₄ и a₅ и по­лу­чим общую фор­му­лу a_n. Зна­чит,

Ко­эф­фи­ци­ент перед есть   — это сумма чле­нов гео­мет­ри­че­ской по­сле­до­ва­тель­но­сти

Тогда фор­му­ла a_n может быть пред­став­ле­на в виде

При­рав­ня­ем фор­му­лы a_n:

от­ку­да   — по­лу­че­но не­вер­ное ра­вен­ство.

Зна­чит, нашу по­сле­до­ва­тель­ность нель­зя за­дать фор­му­лой

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать a₁, если

Наша по­сле­до­ва­тель­ность за­да­на ре­кур­рент­но: Эту фор­му­лу пред­ста­вим иначе: По­лу­чен­ные раз­но­сти обо­зна­чим и Тогда Тогда по­сле­до­ва­тель­ность пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую по­сле­до­ва­тель­ность со зна­ме­на­те­лем

Имеем

Для на­ше­го слу­чая имеем

по­сколь­ку a_n  — на­ту­раль­ное, то b₁ крат­но то есть Тогда

Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на дробь По­лу­ча­ем

Мы видим, что при де­ле­нии a₁ на по­лу­ча­ет­ся тот же оста­ток, что и при де­ле­нии 404 на

Най­дем эти остат­ки:

1)  при n  =  3, по­лу­ча­ем

оста­ток равен 5. Зна­чит, a₁  =  5;

2)  при n  =  4, по­лу­ча­ем

оста­ток равен 17. Зна­чит, a₁  =  17;

3)  при n  =  5, по­лу­ча­ем

оста­ток равен 145. Зна­чит, a₁  =  145;

4)  при n  =  6, по­лу­ча­ем

оста­ток равен 404. Зна­чит, a₁  =  145.

Видим, что наи­мень­шее зна­че­ние a₁  =  5.

Ответ: а)  1, 217, 253, 259, 260; б) не может; в)  a₁  =  5.

При­ме­ча­ние.

Дру­гой под­ход к ре­ше­нию та­ко­го рода задач из­ло­жен в за­да­нии 634239.

Встре­ча­ют­ся также за­да­чи с дру­гой по­ста­нов­кой во­про­сов б) и в). Рас­смот­рим их.