РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 633979 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 404

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение определено, если аргумент логарифма положителен, то есть если $косинус x меньше 0.$ При этом условии уравнение эквивалентно совокупности:

$совокупность выражений минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1=0, минус 0,8 косинус x= 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset\mathclap косинус x меньше 0 равносильно x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , }.$ $совокупность выражений минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1=0, минус 0,8 косинус x= 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset\mathclap косинус x меньше 0 равносильно x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , }.$ $совокупность выражений минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1=0, минус 0,8 косинус x= 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset\mathclap косинус x меньше 0 равносильно x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z , }.$

выше для решения уравнения мы использовали следствие из основного тригонометрического тождества: $косинус в квадрате x = 1 минус синус в квадрате x.$

б)  Отберем корни, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка$ при помощи двойного неравенства:

$минус 6 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 12 меньше или равно k \leqslqnt минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 12 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k= минус 3.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 6 Пи = минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

633979

а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 404

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	633979	а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$