РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 633390 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 401

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $синус в степени 4 x плюс левая круглая скобка синус x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 =2.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 Пи ; 5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Пусть $синус x=t плюс 1,$ тогда

$левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в степени 4 =2 равносильно$
$равносильно t в степени 4 плюс 4t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 4t плюс 1 плюс t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 6t в квадрате минус 4t плюс 1=2 равносильно$
$равносильно 2t в степени 4 плюс 12t в квадрате =0 равносильно 2t в квадрате левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 правая круглая скобка =0 равносильно t=0.$ $левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 плюс левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в степени 4 =2 равносильно$
$равносильно t в степени 4 плюс 4t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 4t плюс 1 плюс t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 6t в квадрате минус 4t плюс 1=2 равносильно$
$равносильно 2t в степени 4 плюс 12t в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате левая круглая скобка t в квадрате плюс 6 правая круглая скобка =0 равносильно t=0.$

Вернёмся к исходной переменной:

$синус x=1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 4 Пи ; 5 Пи правая квадратная скобка ,$ с помощью двойного неравенства:

$4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно 3,5 Пи меньше или равно 2 Пи k меньше или равно 4,5 Пи равносильно$
$равносильно 1,75 меньше или равно k меньше или равно 2,25 \undersetk принадлежит Z \mathop равносильно k=2.$ $4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно$
$равносильно 3,5 Пи меньше или равно 2 Пи k меньше или равно 4,5 Пи равносильно$
$равносильно 1,75 меньше или равно k меньше или равно 2,25 \undersetk принадлежит Z \mathop равносильно k=2.$

Тогда $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи умножить на 2=4,5 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $4,5 Пи .$

Приведём другое решение пункта а):

$синус в степени 4 x плюс левая круглая скобка синус x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 =2 равносильно$
$равносильно синус в степени 4 x плюс синус в степени 4 x минус 4 умножить на 2 умножить на синус в кубе x плюс 6 умножить на 2 в квадрате умножить на синус в квадрате x минус 4 умножить на 2 в кубе умножить на синус x плюс 2 в степени 4 =2 равносильно$
$равносильно синус в степени 4 x минус 4 синус в кубе x плюс 12 синус в квадрате x минус 16 синус x плюс 7=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус в кубе x минус 3 синус в квадрате x плюс 9 синус x минус 7 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка синус в квадрате x минус 2 синус x плюс 7 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 6 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно синус x=1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

633390

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $4,5 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 401

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	633390	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $4,5 Пи .$