PDF-версии: 
Целочисленным треугольником называется треугольник, длины сторон которого равны целым числам.
а) Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию;
б) Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины прямого угла, образуют арифметическую прогрессию?
в) Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, у которых площадь численно равна периметру.
Решение. а) Обозначим стороны треугольника за a, a + d, a + 2d, где
Ясно, что гипотенуза — большая из них. По теореме Пифагора получим 
откуда
Значит, 
или 
(что невозможно). Тогда стороны треугольника равны 3d, 4d, 5d, то есть подходят все треугольники, подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольнике ABC с прямым углом C. Если этот треугольник равнобедренный, то 
а тогда треугольник не целочисленный. Следовательно, треугольник разносторонний, поэтому в нем проведенные к гипотенузе высота, биссектриса и медиана различны.
Пусть отрезок 
а потому высота, биссектриса и медиана треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 
Кроме того известно, что в прямоугольном треугольнике 
а потому
Но полученное равенство невозможно для натуральных значений букв, поскольку слева иррациональное число, а справа — рациональное.
в) Пусть стороны треугольника равны a, b (b ⩾ a), 
Тогда по условию 
откуда
то есть
Возведем последнее равенство в квадрат и разложим на множители:
По предположению, b ⩾ a, а значит, второй сомножитель не меньше первого. Тогда либо эти множители равны 1 и 8, либо 2 и 4. В первом случае 
тогда 
во втором случае 
откуда 
Ответ: а) треугольники, подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5; б) нет; в) 5, 12, 13 и 6, 8, 10.
Приведем другое решение пунктов б) и в).
б) Пусть в треугольнике ABC имеем 
и 
Сразу отметим, что если 
то 
и треугольник не целочисленный.
Пусть далее 
Кроме того,
Следовательно,
то есть в треугольнике MCH отрезок CL также является биссектрисой.
Рассмотрим треугольники CHM и CHL. Обозначая
за β и длину CH за h, получим
и 
Допустим, что указанные три отрезка образуют арифметическую прогрессию. Тогда
Обозначая 
получим
Если первая скобка равна нулю, то 
что невозможно. Если вторая скобка равна нулю, то 
но одно из этих чисел больше единицы, а второе отрицательно. Такой случай тоже невозможен.
в) Пусть стороны треугольника равны a, b (b ⩾ a), 
тогда по условию 
то есть
откуда 
Теперь разберем варианты.
1. Если a = 1, то 
или 
что невозможно.
2. Если a = 2, то 
или 
что могло бы случиться лишь при 
и 
но тогда 
—
3. Если a = 3, то 
или 
что могло бы случиться лишь при и 
но тогда 
и 
—
4. Если a = 4, то 
или 
что могло бы случиться лишь при 
и 
но тогда 
или при 
но тогда 
—
5. Если a = 5, то 
или 
что могло бы случиться лишь при и 
тогда 
и 
—
6. Если a = 6, то 
или 
что могло бы случиться лишь при таких вариантах и 
тогда 
и 
или 
или 
во всех этих случаях c нецелое.
7. Если a = 7, то 
или 
что могло бы случиться лишь при и 
но тогда 
и 
—
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |