РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система:

$система выражений левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 3 a правая круглая скобка в квадрате =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 конец системы .$

имеет ровно 5 решений.

Решение. Решим задачу графоаналитическим способом. Графиком первого уравнения системы в системе координат xOy является объединение трёх прямых $y=3,$ $y=x,$ $y= минус x минус 4$ (выделено синим). При $8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 больше 0$ графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $левая круглая скобка минус 2; минус 3a правая круглая скобка ,$ вырождающаяся в точку при $8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4=0.$ При $8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 меньше 0$ второе уравнение, а вместе с ним и вся система, решений не имеют.

Заметим, что графики первого и второго уравнения системы симметричны относительно прямой $x= минус 2.$ Значит, чтобы система имела нечётное число решений, окружность должна проходить либо через точку $A левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка ,$ либо через точку $B левая круглая скобка минус 2; 3 правая круглая скобка .$ Найдём соответствующие значения параметра a.

Окружность проходит через точку $A левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка$ при

$левая круглая скобка минус 2 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно 9 a в квадрате минус 12 a плюс 4 =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно a в квадрате минус 36a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=36. конец совокупности .$ $левая круглая скобка минус 2 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно 9 a в квадрате минус 12 a плюс 4 =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 36a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=36. конец совокупности .$

Окружность проходит через точку $B левая круглая скобка минус 2; 3 правая круглая скобка$ при

$левая круглая скобка минус 2 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно 9 a в квадрате плюс 18 a плюс 9 =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно a в квадрате минус 6a плюс 5=0 равносильно совокупность выражений a=1,a=5. конец совокупности .$ $левая круглая скобка минус 2 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно 9 a в квадрате плюс 18 a плюс 9 =8 a в квадрате плюс 24 a плюс 4 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 6a плюс 5=0 равносильно совокупность выражений a=1,a=5. конец совокупности .$

Определим число решений системы для каждого из найденных значений.

При $a=0$ центр окружности находится в точке $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка ,$ радиус окружности равен 2 (выделено красным). Значит, окружность не имеет общих точек с прямой $y=3,$ и система имеет ровно три решения.

При $a=36$ центр окружности находится в точке $левая круглая скобка минус 2; минус 108 правая круглая скобка ,$ радиус окружности равен 106 (выделено цветом фуксии). Значит, окружность не имеет общих точек с прямой $y=3,$ и система имеет ровно три решения.

При $a=1$ центр окружности находится в точке $левая круглая скобка минус 2; минус 3 правая круглая скобка ,$ радиус окружности равен 6 (выделено оранжевым). Тогда окружность касается прямой $y=3$ и пересекает каждую из двух оставшихся прямых в точках отличных от точки $левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка ,$ значит, система имеет ровно пять решений.

При $a=5$ центр окружности находится в точке $левая круглая скобка минус 2; минус 15 правая круглая скобка ,$ радиус окружности равен 18 (выделено зелёным). Тогда окружность касается прямой $y=3$ и пересекает каждую из двух оставшихся прямых в точках отличных от точки $левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка ,$ значит, система имеет ровно пять решений.

Таким образом, система имеет ровно пять решений при $a=1$ и при $a=5.$

Ответ: $левая фигурная скобка 1; 5 правая фигурная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	632970	$левая фигурная скобка 1; 5 правая фигурная скобка .$

Ключ