Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Пусть тогда

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда имеет ре­ше­ние вто­рое урав­не­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы. Левая часть этого урав­не­ния за­ви­сит толь­ко от t, а пра­вая  — толь­ко от а. По­это­му урав­не­ние имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда его левая и пра­вая части при­ни­ма­ют одно и то же мно­же­ство зна­че­ний. Чтобы найти мно­же­ство зна­че­ний левой части урав­не­ния, за­пи­шем его в виде

и пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ную левую часть:

Обо­зна­чим тогда вы­ра­же­ние в скоб­ках в левой части урав­не­ния можно за­пи­сать как и При функ­ция z(t) при­ни­ма­ет все не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния. Функ­ция при не опре­де­ле­на, а при по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях z при­ни­ма­ет все зна­че­ния, не мень­шие 2. По­это­му левая часть урав­не­ния при­ни­ма­ет все зна­че­ния, не мень­шие

Най­дем, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра пра­вая часть урав­не­ния при­ни­ма­ет такие же зна­че­ния:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Мы могли при­нять и вос­поль­зо­вать­ся из­вест­ным утвер­жде­ни­ем о том, что мно­же­ство зна­че­ний функ­ции пред­став­ля­ет собой луч Можно было бы, на­о­бо­рот, не сво­дить за­да­чу к из­вест­ной, а, по­лу­чив урав­не­ние

вве­сти в рас­смот­ре­ние функ­цию При по­мо­щи про­из­вод­ной можно найти мно­же­ство зна­че­ний этой функ­ции: Этим за­да­ча све­де­на к не­ра­вен­ству

При­е­дем ре­ше­ние Вик­то­ра Ко­ше­ле­ва.

За­ме­тим, что Пусть тогда

Пе­ре­пи­шем си­сте­му, ис­поль­зуя новые пе­ре­мен­ные:

Умно­жив пер­вое урав­не­ние на и при­ба­вив к нему вто­рое, по­лу­чим

Эта си­сте­ма, а вме­сте с ней и ис­ход­ная, имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда

Решая по­лу­чив­ше­е­ся не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем