PDF-версии: 
Для каждого натурального числа введем 
(например, 
).
а) Найдите наибольшее возможное n, если 
не является натуральным числом.
б) Найдите наибольшее возможное n, если 
в) Найдите наибольшее возможное n, если 
не делится на 13.
Решение. а) Очевидно, если 
то в n! входят множители 2 и 4, поэтому 
кратно 8. С другой стороны, 
что не кратно 8.
б) Имеем:
что отрицательно только при 
в) Ясно, что при 
число n! содержит множитель 13, поэтому указанное выражение кратно 13. При 
запишем выражение как 
и будем последовательно проверять числа n, меньшие 13.
Пусть 
тогда первый множитель не кратен 13, а второй кратен. Действительно, (знак 
означает, что у чисел одинаковые остатки при делении
Следовательно, разность 12! и 12 при делении на 13 дает нулевой остаток, то есть делится на 13 нацело.
Проверим 
поскольку 12! дает остаток 12 при делении на 13, то 
дает остаток 1 при делении на 13, а значит, число 
не будет кратно 13.
Ответ: а) 3; б) 4; в) 11.
Примечание.
Показать, что 
кратно 13 можно было, сославшись на теорему Вильсона: число 
делится на p тогда и только тогда, когда p — простое. В нашем случае, число 
кратно 13.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |