РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система:

$система выражений y в квадрате минус x в квадрате больше или равно 0, левая круглая скобка y минус a в квадрате минус 3a плюс 18 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 6a правая круглая скобка в квадрате =3 умножить на |a| в степени левая круглая скобка минус \tfraca правая круглая скобка 2 конец системы .$

имеет ровно 2 решения.

Решение. Решим задачу графо-аналитическим способом. Уравнение $левая круглая скобка y минус a в квадрате минус 3a плюс 18 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 6a правая круглая скобка в квадрате =3 умножить на |a| в степени левая круглая скобка минус \tfraca правая круглая скобка 2$ задает окружность с центром в точке $левая круглая скобка 6a; a в квадрате плюс 3a минус 18 правая круглая скобка$ и радиусом $R= корень из: начало аргумента: 3 умножить на |a| в степени левая круглая скобка минус \tfraca конец аргумента 2 правая круглая скобка .$

Преобразуем неравенство:

$y в квадрате минус x в квадрате больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс x правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений система выражений y меньше или равно x,y меньше или равно минус x, конец системы . система выражений y больше или равно x,y больше или равно минус x. конец системы . конец совокупности .$

На плоскости xOy множество точек, удовлетворяющих полученной совокупности, представляют собой пару вертикальных углов (см. рис., выделено синим). Для того чтобы исходная система имела ровно два решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность одновременно касалась прямых $y=x$ и $y= минус x.$ Для этого необходимо, чтобы центр окружности лежал на оси абсцисс. Получаем условие:

$a в квадрате плюс 3a минус 18=0 равносильно совокупность выражений a= минус 6,a=3. конец совокупности .$

В противном случае система либо не будет иметь решений, либо будет иметь одно решение, либо бесконечно много решений.

Проверим, являются ли прямые $y=x$ и $y= минус x$ касательными к окружности при найденных значениях параметра.

При $a= минус 6$ центр окружности имеет координаты $левая круглая скобка минус 36; 0 правая круглая скобка ,$ а радиус равен $R= корень из: начало аргумента: 3 умножить на 6 в кубе конец аргумента .$ Расстояние от точки $левая круглая скобка минус 36; 0 правая круглая скобка$ до прямых $y=x$ и $y= минус x$ равно стороне квадрата с диагональю 36, то есть $18 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Равенство $корень из: начало аргумента: 3 умножить на 6 в кубе конец аргумента =18 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ является верным, значит, при $a= минус 6$ окружность касается прямых $y=x$ и $y= минус x$ (изображено оранжевым).

При $a=3$ центр окружности имеет координаты $левая круглая скобка 18; 0 правая круглая скобка ,$ а радиус равен $R= корень из: начало аргумента: 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента правая круглая скобка .$ Расстояние от точки $левая круглая скобка 18; 0 правая круглая скобка$ до прямых $y=x$ и $y= минус x$ равно стороне квадрата с диагональю 18, то есть $9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Равенство $корень из: начало аргумента: 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента правая круглая скобка =9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ является неверным, значит, при $a=3$ окружность не касается прямых $y=x$ и $y= минус x$ (изображено красным).

Таким образом, система имеет ровно два решения только при $a= минус 6.$

Ответ: −6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	629867	−6.

Ключ