PDF-версии: 
Стороны BC и CD квадрата ABCD являются сторонами равносторонних треугольников BCM и DCN соответственно, точки M и N лежат вне квадрата. Прямая AM пересекает BC в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите KN, если 
Решение. а) Заметим, что угол ABM равен
Треугольник ABM равнобедренный, поэтому углы BAM и BMA равны 
каждый. Таким образом, 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть AB = x. Воспользуемся теоремой синусов для треугольника BKM: 
то есть 
Угол KMN равен 
Применим теперь теорему косинусов для треугольника DMN:
Запишем теорему косинусов для треугольника KMN:
Найдем синус 105°:
Используя полученную величину, упростим выражение для KN:
Отсюда получаем ответ — 
Ответ: б)
Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.
Пусть MC = AB = x.
По теореме синусов для треугольника MCK:
Заметим, что
Тогда 
По теореме косинусов для треугольника KCN:
Подставив 
получим KN = 37, откуда KN = 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |