РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 629862 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 395

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 минус синус в квадрате левая круглая скобка \tfrac7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка синус 2x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 7 Пи ; 8,75 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Упростим правую часть уравнения:

$дробь: числитель: 1 минус синус в квадрате левая круглая скобка \tfrac7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка синус 2x = дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: синус 2x конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби = дробь: числитель: синус x, знаменатель: 2 косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x,$ $дробь: числитель: 1 минус синус в квадрате левая круглая скобка \tfrac7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка синус 2x =$
$= дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: синус 2x конец дроби = дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: синус x, знаменатель: 2 косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x,$

сокращать на $синус x$ можно при условии $синус x не равно 0.$ Далее получаем:

$синус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно$
$равносильно синус x плюс тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно 2 синус x = минус тангенс x равносильно$
$равносильно 2 синус x = минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно 2 = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x равносильно$
$равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно$
$равносильно синус x плюс тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно$
$равносильно 2 синус x = минус тангенс x равносильно$
$равносильно 2 синус x = минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\underset синус x не равно 0 \mathop равносильно 2 = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно$
$равносильно синус x плюс тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби тангенс x равносильно$
$равносильно 2 синус x = минус тангенс x равносильно$
$равносильно 2 синус x = минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\underset синус x не равно 0 \mathop равносильно 2 = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x равносильно$
$равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят $дробь: числитель: 22 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 26 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 22 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 26 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

629862

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 22 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 26 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 395

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	629862	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 22 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 26 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$