РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 629509 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Возьмем три любые (не обязательно различные) цифры a, b, c, отличные от 0, и всевозможными перестановками составим шесть трехзначных чисел $левая фигурная скобка \overlineabc,\overlineacb,\overlinebac,\overlinebca,\overlinecab,\overlinecba правая фигурная скобка .$ Сумму этих чисел обозначим $f левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка .$

а)  Может ли $f левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка$ равняться 1754 при каких‐либо значениях a, b, c?

б)  Сколько существует различных значений $f левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка$ ?

в)  Сколько трехзначных чисел $n=\overlineabc$ совпадают со средним арифметическим чисел $левая фигурная скобка \overlineabc,\overlineacb,\overlinebac,\overlinebca,\overlinecab,\overlinecba правая фигурная скобка$ ?

Решение. Записав число $\overlineabc$ в виде $100a плюс 10b плюс c$ и остальные пять чисел аналогично, вычислим предварительно:

$f левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка =$
$=100a плюс 10b плюс c плюс 100a плюс 10c плюс b плюс 100b плюс 10a плюс c плюс 100b плюс 10c плюс a плюс 100c плюс 10a плюс b плюс 100c плюс 10b плюс a=$
$=222 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка .$

а)  Равенство $222 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =1754$ невозможно, поскольку 1754 не кратно 3, а 222 кратно 3.

б)  Заметим, что минимальное значение $a плюс b плюс c$ это $1 плюс 1 плюс 1=3,$ а максимальное $9 плюс 9 плюс 9=27.$ Все промежуточные значения тоже возможны: если сначала увеличивать самое большое число ( $1 плюс 1 плюс 2,1 плюс 1 плюс 3,\ldots,1 плюс 1 плюс 9 правая круглая скобка ,$ затем следующее и наконец самое маленькое, получим все промежуточные суммы. Количество чисел от 3 до 27 равно 25: $27 минус 3 плюс 1=25.$

в)  Запишем условие в виде

$дробь: числитель: 222 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка , знаменатель: 6 конец дроби =100a плюс 10b плюс c равносильно 37 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =100a плюс 10b плюс c равносильно$

$равносильно 36 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =99a плюс 9b равносильно 4 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =11a плюс b равносильно 4a плюс 4b плюс 4c=11a плюс b равносильно 3b плюс 4c=7a.$ $равносильно 36 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =99a плюс 9b равносильно 4 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =11a плюс b равносильно$
$равносильно 4a плюс 4b плюс 4c=11a плюс b равносильно 3b плюс 4c=7a.$ $равносильно 36 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =99a плюс 9b равносильно$
$равносильно 4 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка =11a плюс b равносильно$
$равносильно 4a плюс 4b плюс 4c=11a плюс b равносильно 3b плюс 4c=7a.$

Будем перебирать возможные значения a.

При a  =  1 получим b  =  c  =  1.

При a  =  2 получим b  =  c  =  2.

При a  =  3 получим b  =  c  =  3.

При a  =  4 получим b  =  c  =  4 или b  =  8 c  =  1.

При a  =  5 получим b  =  c  =  4 или b  =  1 c  =  8 или b  =  9 c  =  2.

При a  =  6 получим b  =  c  =  6 или b  =  2 c  =  9.

При a  =  7 получим b  =  c  =  7.

При a  =  8 получим b  =  c  =  8.

При a  =  9 получим b  =  c  =  9.

Всего 13 возможных вариантов.

Ответ: а)  нет; б)  25; в)  13.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  нет; б)  25; в)  13.

629509

а)  нет; б)  25; в)  13.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	629509	а)  нет; б)  25; в)  13.