Ре­ше­ние. a)  Пусть окруж­но­сти, опи­сан­ные около тре­уголь­ни­ков A₁BC₁ и A₁B₁C пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Тогда От­сю­да

Зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник впи­сан­ный. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть D, G, F  — цен­тры трех окруж­но­стей из усло­вия за­да­чи. За­ме­тим, что все эти окруж­но­сти равны, так как они опи­са­ны около рав­ных тре­уголь­ни­ков. Кроме того, из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC сле­ду­ет, что A₁E  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BC, от­ку­да по­лу­ча­ет­ся, что С₁E и B₁E  — се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам AB и AC. Тогда точка E  — центр окруж­но­сти опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC и од­но­вре­мен­но центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около DFG. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник DFG по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC c ко­эф­фи­ци­ен­том Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, по фор­му­ле S  =  pr. Имеем: p  =  18, от­сю­да Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в DFG равен

Ответ: б)