PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA = 5, а высота 
Точки M и N — середины ребер CD и АВ соответственно. Точка N — вершина пирамиды NSCD, NT — ее высота.
а) Докажите, что точка T делит SM пополам.
б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.
Решение. а) Точка O — основание высоты пирамиды, заметим, что прямые CD и SO перпендикулярны, прямые CD и MN перпендикулярны, следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости SMN, а значит, плоскости SMN и SCD перпендикулярны. Таким образом, прямая NT лежит в плоскости SMN, а точка T лежит на прямой SM. Имеем:
Таким образом, треугольник SMN — равносторонний, а T — середина SM.
б) Из п. а) следует, что прямая NT перпендикулярна плоскости SCD. Прямая SC лежит в плоскости SCD, значит, расстояние между прямыми NT и SC равно расстоянию от точки T до прямой SC. Из точки T на прямую SC опустим перпендикуляр TH и найдём его. Треугольники STH и SCM подобны, следовательно,
откуда 
Ответ: б) 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |