PDF-версии: 
Для каждого натурального числа n обозначим через an максимальный делитель числа n, являющийся квадратом натурального числа, и 
а) Может ли у числа bn быть 18 делителей?
б) Для скольких натуральных чисел n 
выполняется равенство 
?
в) Последняя цифра числа n равна 9. Чему равна сумма последних цифр чисел an и
Решение. а) После сокращения максимального квадрата в числе каждый простой множитель остается не более чем в первой степени (если bn делится на p2, то стоило вместо an взять pan). Количество делителей у таких чисел это 2k, где k — количество простых множителей. Но 18 не является степенью двойки.
б) Нас интересуют числа до 1000, кратные 25, но не кратные больше никаким квадратам натуральных чисел. То есть числа вида 25x, где 
и x не делится ни какой квадрат натурального числа, большего 1.
Среди этих чисел ровно 10 кратны 4, ровно 4 кратны 9, ровно одно кратно 25 и ровно одно кратно 36. На квадраты чисел больших 6 такие числа делиться не могут никогда.
Теперь посчитаем те, которые не делятся на квадраты. Их 
(вычитаем числа, кратные 4, 9, 25 и добавляем кратное 36, поскольку вычли его дважды. Больше никаких повторов не было).
в) Раз последняя цифра n равна 9, n нечетно и не кратно 5. Значит, последние цифры an и bn могут быть либо 1, 9, либо 3, 3, либо 7, 7. В первом случае утверждение задачи выполнено, во втором и третьем число an будет заканчиваться на 3 или 7, что для квадрата невозможно.
Ответ: а) нет; б) 26; в) 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |